Trasformazioni geometriche: similitudini

Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

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Trasformazioni geometriche: similitudini

Definizioni Una similitudine è un tipo particolare di trasformazione affine. Ricordiamo che una trasformazione affine è definita dalle seguenti equazioni: .Una similitudine è un’affinità in cui risulti:

  • c = -b e d = a oppure
  • c = b e d = -a .

Da questa relazione segue che una similitudine può essere definita in due soli modi :

  • oppure
  • .

Da un punto di vista strettamente geometrico, in una similitudine resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A’, B’) ovvero: .

Il numero k positivo definito da si dice rapporto di similitudine .

Notiamo che le omotetie, le traslazioni, le rotazioni sono tutte tipi particolari di similitudini.

Proprietà fondamentali

Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà:

  • conserva il parallelismo delle rette;
  • trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza;
  • trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;
  • se la figura S’ è l’immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S’)= k 2 Area (S).

Esempio

Consideriamo la seguente affinità T di equazioni:

.Si tratta di una similitudine con k = 2,061552812809…

Per capire come agisce T , vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura rappresentato in rosso) di vertici A(-1 ; 1), B(-2 ; 0), C(-1 ; -1). Il punto A ha come immagine il punto A'(-0,5 ; 1,5). Il punto B ha come immagine il punto B'(1 ; -1). Il punto C ha come immagine il punto C'(3,5 ; 0,5). Notiamo che la figura trasformata (nel disegno il triangolo in blu) è un triangolo isoscele e simile a quello di partenza.



Categorie:D10.05- Disegno tecnico - Technical drawing, D50.03- Rappresentazione matematica dello spazio - Mathematical representation of space, Uncategorized

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