Il triangolo di Sierpiński

Il triangolo di Sierpiński

Il triangolo di Sierpiński è un frattale, così chiamato dal nome di Wacław Sierpiński che lo descrisse nel 1915.

È un esempio base di insieme auto-similare, cioè matematicamente generato da un pattern che si ripete allo stesso modo su scale diverse.

Il triangolo di Sierpiński ha dimensione di Hausdorff log(3)/log(2) ≈ 1,585 e l’area del triangolo di Sierpiński è zero (in misura di Lebesgue).

Fra i primi frattali studiati, un posto d’onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpiński (o Gerla di Sierpiński), dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà. Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare.Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno (fig. 2) da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere la figura 3, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini (fig. 4). In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale.Nelle figure seguenti possiamo osservare i primi 6 passi necessari per ottenere il frattale.
(fig. 1)
Passo 0

(fig. 2)
Passo 1

(fig. 3)
Passo 2

(fig. 4)
Passo 3

(fig. 5)
Passo 4

(fig. 6)
Passo 5

(fig. 7)

Se volessimo animare la sequenza otterremo il seguente risultato:

Per ottenere il triangolo di Sierpiński usando le affinità basta usare le seguenti tre trasformazioni:

T1: ; T2: ; T3:

L’origine del sistema di riferimento è posto nel vertice in basso a sinistra del quadrato di partenza. Nota che è T1un’omotetia di ragione 1/2, T2è un’omotetia di ragione 1/2 composta con una traslazione secondo il vettore (0, 1/2), T3è un’omotetia di ragione 1/2 composta con una traslazione secondo il vettore (1/2, 1/2).

Infine nella fig. 8 è evidente l’autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all’intero frattale. Nota che la trasformazione T1genera la parte in blu, la T2la parte in rosso e T3quella in verde.

(fig. 8)

Varrebbe la pena confrontare questa costruzione con quella della Spugna di Sierpiński.



Categorie:V01- I concetti della Matematica

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